Tri spremenljive linearne enačbe in metoda rešitve

V arhitekturi obstajajo matematični izračuni za gradnjo stavb, od katerih je eden sistem linearnih enačb. Sistem linearnih enačb je koristen za določanje koordinat presečišč. Pravilne koordinate so bistvene za izdelavo stavbe, ki ustreza skici. V tem članku bomo obravnavali sistem tri linearnih enačb s tremi spremenljivkami (SPLTV).

Tri-spremenljiv sistem linearnih enačb je sestavljen iz več linearnih enačb s tremi spremenljivkami. Splošna oblika linearne enačbe s tremi spremenljivkami je naslednja.

sekira + za + cz = d

a, b, c in d so realna števila, toda a, b in c ne morejo biti enake 0. Enačba ima veliko rešitev. Eno rešitev lahko dobimo z enačenjem katere koli vrednosti dvema spremenljivkama, da določimo vrednost tretje spremenljivke.

Vrednost (x, y, z) je nabor rešitev za tri spremenljivke linearnih enačb, če vrednost (x, y, z) izpolnjuje tri enačbe v SPLTV. Set za poravnavo SPLTV je mogoče določiti na dva načina, in sicer nadomestni in izločevalni.

Metoda zamenjave

Nadomestna metoda je metoda reševanja sistemov linearnih enačb z nadomestitvijo vrednosti ene spremenljivke iz ene enačbe v drugo. Ta metoda se izvaja, dokler ne dobimo vseh spremenljivk v linearnih enačbah s tremi spremenljivkami.

(Preberite tudi: Sistem z dvema spremenljivkama linearne enačbe)

Nadomestno metodo je lažje uporabiti na SPLTV, ki vsebuje enačbe s koeficientom 0 ali 1. Tu so koraki za reševanje nadomestne metode.

  1. Poiščite enačbo, ki ima preproste oblike. Poenostavljene enačbe imajo koeficient 1 ali 0.
  2. Izrazi eno spremenljivko v obliki drugih dveh spremenljivk. Na primer, spremenljivka x je izražena z y ali z.
  3. Nadomestne vrednosti spremenljivk, pridobljene v drugem koraku, nadomestite z drugimi enačbami v SPLTV, tako da dobite sistem z linearno enačbo z dvema spremenljivkama (SPLDV).
  4. Določite poravnavo SPLDV, pridobljeno v tretjem koraku.
  5. Določite vrednosti vseh neznanih spremenljivk.

Naredimo naslednji primer težave. Poiščite nabor rešitev za naslednji sistem s tri spremenljivkami linearnih enačb.

x + y + z = -6… (1)

x - 2y + z = 3… (2)

-2x + y + z = 9… (3)

Najprej lahko enačbo (1) pretvorimo v z = -x - y - 6 v enačbo (4). Nato lahko enačbo (4) nadomestimo v enačbo (2), kot sledi.

x - 2y + z = 3

x - 2y + (-x - y - 6) = 3

x - 2y - x - y - 6 = 3

-3y = 9

y = -3

Po tem lahko enačbo (4) nadomestimo z enačbo (3), kot sledi.

-2x + y + (-x - y - 6) = 9

-2x + y - x - y - 6 = 9

-3x = 15

x = -5

Dobili smo vrednosti za x = -5 in y = -3. Lahko ga priključimo v enačbo (4), da dobimo vrednost z, kot sledi.

z = -x - y - 6

z = - (- 5) - (-3) - 6

z = 5 + 3 - 6

z = 2

Torej imamo nabor rešitev (x, y, z) = (-5, -3, 2)

Metoda izločanja

Metoda eliminacije je metoda reševanja sistemov linearnih enačb z odstranjevanjem ene od spremenljivk v dveh enačbah. Ta metoda se izvaja, dokler ni samo ena spremenljivka.

Metoda izločanja se lahko uporablja v vseh sistemih tri spremenljivk linearnih enačb. Toda ta metoda zahteva dolg korak, ker lahko vsak korak izloči samo eno spremenljivko. Za določitev nabora poravnave SPLTV so potrebne najmanj 3 metode odprave. Ta metoda je enostavnejša, če jo kombiniramo z metodo zamenjave.

Koraki za dokončanje z uporabo metode izločanja so naslednji.

  1. Opazujte tri podobnosti na SPLTV. Če imata enačbi enak koeficient na isti spremenljivki, odštejte ali dodajte dve enačbi, tako da ima spremenljivka koeficient 0.
  2. Če nobena spremenljivka nima enakega koeficienta, pomnožite obe enačbi s številom, zaradi katerega je koeficient spremenljivke v obeh enačbah enak. Odštejemo ali seštejemo obe enačbi, tako da ima spremenljivka koeficient 0.
  3. Ponovite 2. korak za druge pare enačb. Spremenljivka, izpuščena v tem koraku, mora biti enaka spremenljivki, izpuščeni v 2. koraku.
  4. Po pridobitvi dveh novih enačb v prejšnjem koraku določite nabor rešitev za obe enačbi z metodo rešitve z dvema spremenljivkama linearnega enačbe (SPLDV).
  5. Vrednost dveh spremenljivk, dobljenih v koraku 4, nadomestite v eni od enačb SPLTV, tako da dobite vrednost tretje spremenljivke.

Metodo odstranjevanja bomo poskušali uporabiti v naslednjem problemu. Določite nabor rešitev SPLTV!

2x + 3y - z = 20… (1)

3x + 2y + z = 20… (2)

X + 4y + 2z = 15… (3)

SPLTV lahko določimo z odpravo spremenljivke z. Najprej seštejte enačbi (1) in (2), da dobite:

2x + 3y - z = 20

3x + 2y + z = 20 +

5x + 5y = 40

x + y = 8 ... (4)

Nato pomnožite 2 v enačbi (2) in pomnožite 1 v enačbi (1), da dobite:

3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 -

5x = 25

x = 5

Ko poznate vrednost x, jo nadomestite z enačbo (4), kot sledi.

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

Vrednosti x in y nadomestite v enačbi (2), kot sledi.

3x + 2y + z = 20

3 (5) + 2 (3) + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -

Tako da je nabor rešitev SPLTV (x, y, z) (5, 3, -1).